Robota Komornicza

System pozycyjny

Codziennie posługujemy się systemem dziesiętnym zwanym inaczej decymalnym. Jest to system pozycyjny co oznacza, że liczba składa się z cyfr, których wartość zależy od pozycji oraz podstawy systemu. Rozpatrzmy przykładowo liczbę 123. System dziesiętny ma podstawę 10 czyli możemy liczbę zapisać jako:

123 = 100 + 20 + 3 = 1·10² + 2·10 + 3·10⁰

Łatwo zauważyć, że cyfra na i-tej pozycji od prawej strony ma wartość i-ta cyfra pomnożona przez 10 do i-1.

Inne systemy pozycyjne

System pozycyjny może mieć dowolną podstawę n. Oznacza to, że na dowolnej pozycji mamy n różnych sposobów zapisania cyfry. Rezultatem tego jest, że liczba na i-tej pozycji od prawej strony ma wartość i-ta cyfra pomnożona przez n do i-1. W celu odróżnienia liczb w różnych system zapisach przyjmuje się, że liczba a o bazie n zapisuje się jako a_n.

Przykłady systemów

 

System	Inaczej	Podstawa	Cyfry	Przykład użycia
dwójkowy	binarny	2	0, 1	system binarny jest podstawą wszystkiego związanego z informatyką
ósemkowy	oktalny	8	0 - 7	w system UNIX do reprezentowania poziomu dostępu do pliku
szesnastkowy	heksadecymalny	16	0 - 9, A - F	określanie koloru podczas stylizowania strony

 

Przeliczanie systemu dziesiętnego na inny

Weźmy liczbę a z systemu dziesiętnego. Chcąc przeliczyć ją do innego systemu o podstawie n należy:

1. Podziel liczbę przez n i pobierz resztę z dzielenia.
2. W i-tym kroku zapisz cyfrę na i-tej pozycji od prawej strony
3. Jeśli a jest różne od 0 to wróć do (1.)

 

Przykład

Weźmy przykładowo liczbę 21, które chcemy przeliczyć na system binarny:

Iteracja	Operacja	Wynik	Aktualna liczba
#1	21 / 2	10 r. 1	1
#2	10 / 2	5 r. 0	01
#3	5 / 2	2 r. 1	101
#4	2 / 2	1 r. 0	0101
#5	1 / 2	0 r. 1	10101

Liczba a wynosi już 0, więc nie wykonujemy iteracji #6. W ten sposób odczytujemy, że 21₁₀ = 10101₂.

Inny system na dziesiętny

Weźmy liczbę a o bazie n. Chcąc przeliczyć ją do systemu dziesiętnego należy zsumować wartości wszystkich cyfr liczby pamiętając, że i-ta cyfra ma wartość i-tej cyfry pomnożona przez n^i-1.

Weźmy przykładowo 10121₃. Chcąc przeliczyć wyliczamy kolejne pozycje:1·3⁴ + 0·3³ + 1·3² + 2·3 + 1·3⁰ = 81 + 0 + 9 + 6 + 1 = 97. Z tego możemy odczytać, że 10121₃ = 97₁₀.

Przeliczanie między dowolnymi systemami

Załóżmy, że mamy liczbę a z systemu m i chcemy przeliczyć ją na system n. Dokonujemy tego:

1. Zamieniając liczbę a z systemu m na dziesiętny
2. Powstałą liczbę przeliczamy na system n

 

Przykładowo chcemy przeliczyć 18₃ na system ósemkowy:

18₃ = 1·3 + 8 = 11₁₀

Iteracja	Krok 1	Krok 2	Aktualna liczba
#1	11 / 8	1 r. 3	3
#2	1 / 8	0 r. 1	13

 

Z tego odczytujemy, że 18₃ = 13₈.

Szybka konwersja - binarny na ósemkowy

Algorytm wygląda następująco:

1. Począwszy od prawej grupujemy cyfry liczby binarnej po 3
2. Każdą grupkę zamieniamy na system ósemkowy

 

Przykładowo zamienimy liczbę 10101111₂:

 

Krok	Liczba
#0	101011112
#1	0102	1012	1112
#2	210	510	710
#3	2578

Analogicznie wykonujemy zamianę systemu binarnego na szesnastkowy.

 

Szybka konwersja - szesnastkowy na binarny

Algorytm wygląda następująco:

1. Każdą cyfrę przeliczamy na system binarny

 

Przykładowo zamienimy liczbę 21₁₆:

Krok	Liczba
#0	2116
#1	210	110
#2	00102	01012
#3	1001012

W ten sposób wyliczamy, że 21₁₆ = 100101₂.

 

Różne systemy liczbowe w C++

C++ pozwala wprowadzać bezpośrednio liczby w systemie ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. System dziesiętny wprowadzamy bez zastanowienia:

1. int a = 75; // a = 75

W przypadku, gdy chcemy wprowadzić liczbę w systemie ósemkowym to na początku liczby używamy 0:

1. int a = 075; // a = 61

Z kolei dla systemu szesnastkowego jest to 0x:

1. int a = 0x75; // a = 117

Implementacja przeliczania

Wartość cyfry

Ze względu na różne liczby to będziemy przechowywać ich wartości w tablicy char*. W ten sposób będziemy mogli wprowadzić liczbę nawet w systemie szesnastkowym. Taki sposób zapisu nie pozwala na wykonywanie operacji arytmetycznych, ponieważ każda cyfra będzie miała wartość ASCII, a nie dziesiętną, dlatego stworzymy funkcję pomocniczą getIntValue().